Алгебра и геометрия

I часть. Матрицы, теоретико-множественные понятия, геометрические векторы, линейные пространства, системы линейных алгебраических уравнений. Курс рассчитан на студентов университетов и вузов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Информатика», «Физика», «Экономика».

Лекция 1. Глава I. Основы теории матриц § 1. Понятие матрицы Компактная форма записи матрицы. Матрицы специального вида. § 2. Операции над матрицами Линейные операции. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Лекция 2. § 3. Элементарные преобразования матрицы и матрицы элементарных преобразований Приведение к ступенчатому виду. Матрицы элементарных преобразований. § 4. Определитель матрицы Перестановки. Построение определителя n-го порядка. Простейшие свойства. Лекция 3. § 4. Определитель матрицы (продолжение) Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа, общая схема доказательства. Лекция 4. § 4. Определитель матрицы (продолжение) Доказательство теоремы Лапласа. Разложение определителя по строке (столбцу). Блочные матрицы. Определитель произведения матриц. Лекция 5. § 5. Обратная матрица Определение и простейшие свойства. Присоединенная матрица. Критерий обратимости. Явный вид обратной матрицы. Глава II. Теоретико-множественные понятия § 6. Понятие множества. О понятии множества. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. § 7. Бинарные отношение. Отношение эквивалентности § 8. Отображения Определение. Биективное (взаимно-однозначное) отображение. Обратное отображение. Критерий обратимости. Лекция 6. Глава III. Геометрические векторы § 9. Направленные отрезки § 10. Свободный вектор. Линейные операции над векторами Определение и терминология. Линейные операции над векторами. Множества векторов на прямой, на плоскости и в пространстве. Лекция 7. Глава IV. Введение в теорию линейных пространств § 11. Вещественное линейное пространство. Определение. Примеры: геометрические пространства, арифметическое пространство, пространство матриц, пространства многочленов. § 12. Линейная зависимость § 13. Геометрический смысл линейной зависимости Лекция 8. § 14. Ранг матрицы Ранг матрицы и линейная зависимость. Ранг матрицы и элементарные преобразования. Вычисление ранга. Эквивалентные матрицы. § 15. Базис и размерность линейного пространства Определения. Координаты вектора. Переход к другому базису. Лекция 9. Глава V. Векторная алгебра § 16. Координаты вектора на оси § 17. Аффинная (общая декартова) система координат. Координаты точки § 18. Проекции вектора Проекции вектора на плоскости. Проекции вектора в пространстве. Проекции вектора и координаты. Лекция 10. § 19. Скалярное произведение Определение и основные свойства. Ортонормированный базис. Координаты вектора и скалярное произведение в ортонормированном базисе. § 20. Векторное и смешанное произведения векторов Ориентация в вещественном пространстве. Основные факты. Векторное и смешанное произведения в прямоугольных координатах. § 21. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат Ортогональная матрица. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости. Лекция 11. Глава VI. Системы линейных алгебраических уравнений § 22. Основные задачи теории решения систем линейных алгебраических уравнений Терминология. Компактная запись системы. Эквивалентность систем. § 23. Системы с квадратной невырожденной матрицей § 24. Системы общего вида. Общее решение системы Совместность системы. Схема исследования совместной системы. Общее решение системы. Однородные системы. § 25. Метод Гаусса исследования и решения систем уравнений Системы с трапециевидной матрицей. Элементарные преобразования системы уравнений. Приведение системы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей. Лекция 12. Глава VII. Геометрические свойства решений системы линейных алгебраических уравнений § 26. Линейное подпространство решений однородной системы Линейное подпространство линейного пространства. Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений как линейное подпространство арифметического пространства. Фундаментальная система решений. Общее решение системы. § 27. Линейное многообразие решений неоднородной системы Линейное многообразие в линейном пространстве. Множество решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений как линейное многообразие в арифметическом пространстве. Общее решение системы