Курс математического анализа (первый семестр)

Курс математического анализа занимает центральное место среди математических дисциплин и по праву считается квинтэссенцией современного математического знания. Слушатель этого курса знакомится практически со всеми идеями современной математики в их простейшей и самой наглядной форме, оттачивает мастерство логических рассуждений и разбирается с глубокими и многоуровневыми математическими построениями. Математический анализ является результатом творчества таких выдающихся учёных как И. Ньютон, Г. Лейбниц, Я. Бернулли, Л. Эйлер, Ж. Л. Лагранж, П. Ферма, О. Л. Коши, К. Вейерштрасс, А. Л. Лебег и многих других. С каждым из этих имён связаны не только математические результаты, но и значительные общекультурные достижения.   Представляемый курс ориентирован, прежде всего, на студентов первых курсов математических и естественнонаучных факультетов, но, несомненно, будет интересен широкому кругу профессионалов и любителей математики. Помимо стандартных тем, составляющих содержание курса математического анализа в первом семестре первого курса, мы затронем также ряд красивых и глубоких результатов, являющихся настоящими жемчужинами современной математики.   В начале курса мы познакомимся с элементами теории множеств, обсудим известные математические парадоксы, научимся применять математическую индукцию и узнаем одну из самых трудных аксиом современной математики – аксиому выбора. Далее мы введём понятие функции и отдельно остановимся на специальном классе функций – биекциях, научимся сравнивать бесконечные множества и докажем знаменитую теорему Кантора—Бернштейна. Основным множеством, с которым мы будем иметь дело в нашем курсе, является множество вещественных чисел, различные определения и свойства которого будут подробно обсуждаться. Затем изучим сходимость числовых последовательностей и числовых рядов, определим знаменитое число «е».   Важную часть курса составляют элементы топологии числовой прямой. Здесь будут обсуждаться свойства и структура открытых и замкнутых множеств, в простейшем виде мы познакомимся с мощнейшим средством математического анализа – теоремой Бэра. Предел функции и непрерывность функции являются центральными разделами нашего курса математического анализа. Наряду со стандартными утверждениями о непрерывных функциях мы уделим особое внимание описанию свойств множества точек разрыва функции.   Далее будут рассмотрены функциональные последовательности и ряды: мы сравним поточечную и равномерную сходимость, покажем, что равномерная сходимость сохраняет непрерывность, докажем известную теорему Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленом.   Заключительный раздел курса посвящён дифференциальному исчислению. Мы познакомимся с классическим примером Вейерштрасса непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции, выясним, насколько «плоха» может быть производная всюду дифференцируемой функции, докажем классический набор теорем Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши, обоснуем правило Лопиталя и научимся раскладывать функции по формуле Тейлора, наконец, рассмотрим важный класс выпуклых функций.   В курсе также будут представлены исторические справки о знаменитых учёных, с идеями и результатами которых мы будем знакомиться.

Лекция 1. Элементы теории множеств. Парадокс Рассела. Множество натуральных чисел и метод математической индукции. Неравенство Бернулли и бином Ньютона. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отношение эквивалентности и отношение порядка. Аксиома выбора. Лекция 2. Функция. Определение функции на языке теории множеств. Инъекции, сюръекции и биекции. Группа биекций. Равномощные множества. Конечные и бесконечные множества. Счётные множества и их свойства. Пример Кантора несчётного множества. Теорема Кантора о множестве всех подмножеств и теорема Кантора-Бернштейна. Лекция 3. Вещественные числа. Упорядоченное поле. Аксиома полноты. Существование корня из двух. Бесконечные десятичные дроби – модель поля вещественных чисел. Точные грани и принцип полноты Вейерштрасса. Аксиома Архимеда, принцип полноты Кантора о вложенных отрезках. Несчётность отрезка и континуальные множества. Лекция 4. Предел числовой последовательности. Арифметика пределов. Переход к пределу в неравенствах и теорема о зажатой последовательности. Теорема Вейерштрасса о сходимости монотонных последовательностей и определение числа Эйлера. Понятие подпоследовательности и теорема Больцано. Частичные пределы. Верхний и нижний предел. Критерий Коши. Сходимость числового ряда. Признак сравнения. Признак Коши. Ряд Лейбница и абсолютная и условная сходимость ряда. Лекция 5. Топология вещественной прямой. Свойства открытых и замкнутых множеств. Структура открытых множеств. Предельные и граничные точки. Теорема Бэра. Компактные множества. Лемма Гейне—Бореля—Лебега. Лекция 6. Предел функции. Эквивалентность определений Коши и Гейне. Арифметика пределов. Переход к пределу в неравенствах. Теорема о зажатой функции. Теорема о композиции. Замечательные пределы. Теорема Вейерштрасса о существовании предела у монотонной функции. Критерий Коши. Предел по базе и его связь с пределом последовательности и пределом функции. Лекция 7. Непрерывные функции. Локальные свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва. Колебание функции в точке и структура множества точек разрыва. Глобальные свойства непрерывных функций: теорема о промежуточном значении, теоремы Вейерштрасса о непрерывной на компакте функции. Теорема об обратной функции. Построение показательной и логарифмической функций. Лекция 8. Теорема Кантора о равномерной непрерывности. Обычная и равномерная непрерывность в терминах колебания функции. Понятие равномерной сходимости. Поточечная и равномерная сходимость последовательностей и рядов функций. Существование точки непрерывности у поточечного предела непрерывных функций. Непрерывность равномерного предела непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной на отрезке функции многочленом. Лекция 9. Дифференцируемые функции. Производная и дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Пример Вейерштрасса непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции. Дифференциал. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции и дифференцирование обратной функции. Таблица производных элементарных функций. Лекция 10. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их физическая и геометрическая интерпретации. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано. Необходимые и достаточные условия локального экстремума. Лекция 11. Общий вид остаточного члена в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа и Коши при разложении в ряд экспоненты и логарифма. Разложения элементарных функций. Ряд Тейлора и его сходимость. Пример Коши. Лекция 12. Выпуклые функции. Непрерывность выпуклых функций. Достаточные условия выпуклости в терминах первых и вторых производных. Неравенство Йенсена.