Алгебраическая теория графов

Не секрет, что математика — универсальный язык для исследований. А графы в математике — универсальные высоко симметричные структуры, с помощью которых можно изучать множество объектов различной природы и их свойства.  Вы сталкиваетесь с ними каждый день в повседневных ситуациях. Например, когда строите оптимальный маршрут до университета или работы. Ещё такие объекты встречаются в прикладных научных задачах из разных сфер: графы эффективно используются в теории межкоммуникационных сетей, помогают моделировать эволюционные мутационные процессы в биологии и не только. Структура графов необходима и при создании биокомпьютера или в квантовой химии — в общем, методы алгебраической теории графов универсальны.   В курсе вы узнаете о свойствах графов и о том, как их исследовать. Вы научитесь самостоятельно строить такие структуры, анализировать их и находить ответ на любой вопрос. Вы сможете применять инструменты алгебраической теории графов для оптимального решения задач в химии, биологии, биоинформатике, физике, социологии, теории кодирования, криптографии и многих других областях. Первые модули курса помогут вспомнить основы теории графов, теории групп и линейной алгебры, чтобы постепенно познакомить вас с современными математическими исследованиями. В последних модулях вы узнаете об актуальных новых вопросах, которые возникли благодаря алгебраической теории графов и открыты для исследований.

Модуль 1. Введение Историческое развитие алгебраической теории графов Базовые понятия теории графов Дистанционно регулярные графы Графы Мура   Модуль 2.  Немного о группах Основы теории групп Блинчиковый граф и биокомпьютер Кубик Рубика   Модуль 3. Графы и матрицы Что линейная алгебра говорит о графах? Собственные числа и векторы графов   Модуль 4. О спектрах графов Спектры некоторых графов Спектры после операций над графами Сильно регулярные графы Дистанционно регулярные графы Практикум: считаем спектры   Модуль 5. Графы и группы Группа автоморфизмов графа Транзитивные и симметричные графы Дистанционно-транзитивные графы   Модуль 6. Графы Кэли, Хэмминга и Джонсона Графы Кэли Схематическая связь между регулярными и транзитивными графами Граф Хэмминга: дистанционно-транзитивный граф Кэли Графы Джонсона: дистанционно-транзитивный граф, но не всегда граф Кэли   Модуль 7. Спектральная теория графов Алгебраическая теория графов в примерах Матрица Лапласа Спектральная визуализация и кластеризация Теорема Перрона — Фробениуса и задача ранжирования Характеристический полином и изоспектральные графы О сплетении/чередовании собственных значений Граница весового распределения, и о чём ещё говорят графы?   Модуль 8. Star граф, перестановки и симметрическая группа Star граф и его основные свойства Перестановки и их классы сопряжённости Разбиения, цикловой тип перестановок и таблицы Юнга   Модуль 9. Теория представлений симметрической группы Представление конечной группы Представление симметрической группы через элементы Юциса — Мёрфи Элементы Юциса — Мёрфи и спектр Star графа Формула крюка и кратности собственных значений   Модуль 10. Схемы отношений и когерентные конфигурации Отношения как разбиения Схемы отношений на языке графов Через мир матриц к дистанционно регулярным графам Алгебра Боуза — Меснера Параметры Крейна, P- и Q-полиномиальность Возвращение к графу Мура на 3250 вершинах Когерентные конфигурации как обобщение схем отношений Итоги