Высшая алгебра

Линейная алгебра — это один из важнейших разделов математики. Методы линейной алгебры широко применяются не только для решения задач геометрии, математического анализа, теории динамических систем, механики сплошных сред, теории представлений, но и в машинном обучении, анализе данных, криптографии.  Курс «Высшая алгебра» предназначен для студентов физико-математических, технических и естественнонаучных специальностей, при этом он может быть полезен всем, кто изучает экономику, социологию и IT. Этот онлайн-курс дополняет стандартные дисциплины линейной алгебры и аналитической геометрии в вузах. Цель онлайн-курса — расширить знания студентов о векторных пространствах, линейных отображениях, матрицах и квадратичных формах. За время обучения студенты, в частности, научатся находить жорданову форму матрицы линейного оператора и применять её для решения прикладных задач кибернетики и математической физики. Предполагается, что студенты уже владеют базовыми понятиями линейной алгебры и знакомы с основными операциями над матрицами: умеют складывать и умножать матрицы, вычислять определитель квадратной матрицы и находить обратную матрицу. Во время обучения студентам также предстоит решать практические задачи, в которых используются методы линейной алгебры, и учиться объяснять, почему предложенные алгоритмы на самом деле работают. Материалы курса разработаны группой исследователей Математического центра в Академгородке (соглашение с Министерством науки и высшего образования РФ номер 075-15-2019-1675).

Модуль 1. Векторные пространства Векторы на плоскости и в пространстве Векторные пространства Базис векторного пространства Координаты векторов   Модуль 2. Векторные подпространства Подпространства векторного пространства. Линейная оболочка Сумма и пересечение подпространств   Модуль 3. Скалярное произведение Скалярное произведение. Евклидовы пространства Метод ортогонализации. Матрица Грама Ортогональное дополнение   Модуль 4. Линейные отображения Что такое линейное отображение? Матрица линейного отображения Ядро и образ линейного отображения   Модуль 5. Матрицы и их свойства Что такое ранг матрицы и каковы его свойства? Как изменяется матрица отображения при переходе к новому базису? Сопряжённое линейное отображение Ортогональные операторы и матрицы   Модуль 6. Системы линейных уравнений и их приложения Системы линейных уравнений. Метод Гаусса Решаем задачу для фанерного завода методом Гаусса Однородные системы линейных уравнений   Модуль 7. Собственные числа Собственные числа и собственные векторы Как найти собственные значения? Полупростые операторы Нильпотентные линейные преобразования   Модуль 8. Жорданова форма Что такое жорданова нормальная форма и для чего она применяется? Ядерное разложение пространства Разложение Жордана — Шевалле Примеры разложений Жордана — Шевалле Нильпотентные операторы Как найти канонический базис нильпотентного оператора? Как найти жорданову нормальную форму?   Модуль 9. Функции от матриц Как вычислить многочлен от матрицы? Анализ линейных рекуррентных последовательностей Матричная экспонента   Модуль 10. Симметрические и ортогональные линейные операторы Лемма Шура для вещественных матриц Симметрические операторы Положительно определённые матрицы Канонический вид матрицы ортогонального оператора Сингулярное разложение матрицы Полярное разложение линейного оператора Билинейные функции Нормальный вид матрицы билинейной функции Квадратичные формы на векторном пространстве Максимум и минимум квадратичной функции Итоги