Математический анализ. Интегрирование и функции многих переменных

Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим, экономическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей вузов. Может быть также полезен школьникам, углубленно занимающимся математикой. Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по математическому анализу, изучающийся на первом курсе университета во втором семестре. Будут представлены разделы «Неопределенный интеграл и методы его вычисления», «Определенный интеграл», «Приложения определенного интеграла», «Предел и непрерывность функции многих переменных», «Дифференцируемость функции многих переменных».  Мы познакомимся с понятием интегрирования как операции, обратной к дифференцированию, изучим основные методы интегрирования и классы функций, интегрируемых стандартными методами. Затем мы рассмотрим определенный интеграл Римана как предел интегральных сумм, изучим основные свойства определенного интеграла. С помощью основной теоремы интегрального исчисления установим связь между определенным и неопределенным интегралом. Далее мы познакомимся с обобщением определенного интеграла – несобственным интегралом. В качестве приложения интеграла Римана рассмотрим задачи вычисления длины дуги кривой, площади плоской области, объема тела. В завершение первой части изучим некоторые методы приближенного вычисления определенного интеграла. Во второй части курса мы дадим определение многомерного вещественного пространства и действующей на нем функции многих переменных. Изучим понятия предела и непрерывности функции многих переменных, рассмотрим основные свойства непрерывных функций. Затем перейдем к понятию дифференцируемости функции многих переменных, докажем различные теоремы о свойствах дифференцируемых функций и познакомимся с такими приложениями дифференцируемости функций многих переменных как решение систем функциональных уравнений, задача о функциональной зависимости и поиск экстремумов (безусловных и условных) функций многих переменных.

Лекция 1. Неопределенный интеграл. Основные понятия. Лекция 2. Интегрирование рациональных дробей. Лекция 3. Интегрирование различных типов функций. Лекция 4. Определенный интеграл. Основные понятия. Лекция 5. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Лекция 6. Формула Ньютона-Лейбница. теоремы о среднем. Лекция 7. Несобственный интеграл. Лекция 8. Геометрические приложения определенного интеграла. Длина кривой и площадь области.  Лекция 9. Геометрические приложения определенного интеграла. Объем тела и площадь поверхности вращения. Лекция 10. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Лекция 11. Понятие функции многих переменных. Лекция 12. Непрерывность функции многих переменных.  Лекция 13. Дифференцирование функции многих переменных. Лекция 14. Производная по направлению и градиент. Производные и дифференциалы высших порядков. Лекция 15. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции многих переменных. Лекция 16. Функции, заданные неявно. Система функциональных уравнений. Лекция 17. Взаимно однозначные отображения. Задача о функциональной зависимости. Лекция 18.  Условный экстремум функции многих переменных.